一元二次方程根与系数的关系 在这个公式上推导出韦达定理

时间:2020-07-01 17:15:16作者:潇洒女人

导读:

我们在学习数学的时候,会遇到什么种方程式,而一元二次方程就是其中之一。今天小编分享一下'一元二次方程根与系数的关系,希望这些信息对你有用。其实学习数学最重要的是熟练各种方程式,并能掌握举一反三的能力。

一元二次方程根与系数的关系 在这个公式上推导出韦达定理

我们前面学习过了一元二次方程的求根公式,发现方程的解与各个项的系数有一定的内在联系,那么我们在公式法的基础上又推导了韦达定理,我们来看下韦达定理的基础内容和它的推导过程。

也就是说韦达定理可以帮助我们快速得求得两根之和及两根之积,而不需要具体得去求解方程。那么韦达定理是怎么推导出来的呢?我们来具体看一下:

韦达定理经常用于求字母参数的值,或者求一些对称式的值。这里应该掌握一些常见的等式变形。

第一个和第三个公式都是用的完全平方公式。

第二个公式用的就是分式的通分。

第三个公式注意用的是二次根式的性质,把绝对值代数式转化为完全平方式的开根。

我们可以通过一道习题来练习一下:

典型习题解析:

我们在用韦达定理来求字母参数取值的时候,一定要注意韦达定理是建立在方程有两个实数根的前提下推导出来的,所以在直接使用韦达定理一定要同时保证方程有两个实数根,也就是判别式大于等于0。

这道题目也考察了方程的根与系数的关系,关键是要理解什么情况下两实数根均为正,两实数根均为正必须满足下面三种情况:

第一,判别式大于等于0;

第二,两根之和大于0;

第三,两根之积大于0;

也可以类比得出两根均为负的条件:

第一,判别式大于等于0;

第二,两根之和小于0;

第三,两根之积大于0;

然后结合韦达定理就可以得出答案。

九年级数学,一元二次方程根与系数的关系,这几点应用要了如指掌

我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后得到伟大的定理,比如万有引力定律(牛顿);而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律,比如,一元二次方程的根与系数同样存在规律,我们称它为韦达定理。

韦达定理在初中数学有有着广泛应用,我们可以把它归结为四种应用类型。

已知一元二次方程,求关于两根的对称式或代数式的值是中考常考题型。求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入。在使用根与系数的关系时,还应注意: ⑴不是一般式的要先化成一般式; ⑵在使用X1+X2=-b/a时, 注意“- ”不要漏写。

第二个我要掌握的题型就是利用根与系数的关系,求作一个一元二次方程。求作新的一元二次方程时:(1)先求原方程的两根和与两根积;(2)利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系,求新方程的两根和与两根积;(3)利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程。

已知两根求系数时,先确定各项系数,再把系数和根代入根与系数的关系式中,从而得到方程,求解即可。在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时,必须注意Δ≥0这个前提,而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0。因此,解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0。

利用根与系数的关系确定字母系数的存在性,这主要是根的判别式和根与系数的关系的综合应用。

利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程,仅通过系数就反映出方程两根的特征。若能掌握好一元二次方程根与系数的关系,能在解题中起到事半功倍的作用。

九下数学:二次函数与x轴交点个数和一元二次方程根与系数的关系

抛物线与x轴交点情况:

①没有交点,②一个交点,③两个交点;

一元二次方程根的情况:

①没有实数根,②两个相等的实数根,③两个不等的实数根

而抛物线与x轴交点个数及一元二次方程根的个数都与判别式△=b^2-4ac的大小有关系。

△<0,没有交点,没有根;

△=0,一个交点,两个相等的实根;

△>0,两个交点,两个不等的实数根。

一元二次方程两根之和:x1+x2=-b/a,(x1+x2)/2=-b/2a是二次函数的对称轴;

两根之积:x1x2=c/a,其符号决定了二次函数与x轴交点是在y轴同侧还是异侧。

在利用二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)来研究一元二次方程根的情况时,常用到以下结论:

①方程有一根小于m,另一根大于n(m

②方程有一根小于m,另一根大于m的条件是:mf(m)<0;

③方程在m,n(m

④方程在m,n(m

△>0,mf(m)>0,mf()>0,m<-b/2a

例1:已知关于x的一元二次方程2x^2+m^2x+6m=0有一根小于-2,另一根大于0,求m的取值范围。

分析:见上面结论①。

因为原方程有一根小于-2,另一根大于0,所以有:2f(-2)<0,即8-2m^2+6m<0,

m^2-3m-4>0,解得m<-1或m>4①;

2f(0)<0,即6m<0,解得m<0②;

由①②得m<-1。

例2、已知关于x的一元二次方程x^2+(2m-1)x-(3m+2)=0有两个实数根,且这两根都在0与5之间,求m的取值范围。

分析:见上面结论④。

解设y=f(x)=x^2+(2m-1)x-(3m+2),抛物线开口向上,顶点在x轴下方,与x轴交点的横坐标都在0~5之间,因此符合要求的m的值应满足:

①△≥0,(2m-1)^2+4(3m+2)≥0,

即4m^2+8m+9≥0,恒大于0,m为任意实数。

②f(0)>0,3m+2<0,解得m<-2/3。

③f(5)>0,25+5(2m-1)-(3m+2)>0,

即7m+18>0,解得m>-18/7。

④0<-b/2a<5,0<-(2m-1)<10,

即-10<2m-1<0,解得-9/2

综上,符合要求的m的取值范围为:

-18/7

例3、已知抛物线y=-x^2+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A,B,且点A在x轴正半轴上,点B在x轴负半轴上,设OA的长为a,OB的长为b。

①求m的取值范围;

②如果a:b=3:1,求m的值,并写出此时抛物线的解析式。

解:①△=b^2-4ac=4(m+1)^2+4(m+3),恒大于0,m为任意实数;

x1.x2=c/a=-(m+3)<0,解得m>-3。

所以m的取值范围为m>-3。

②由题意得:

a=3b,

a+(-b)=2(m+1),

a(-b)=-(m+3),

解这个方程组得m=0。

所以此时抛物线的解析式为y=-x^2+2x+3。

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